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Variation du volume d'un ballon en fonction de l'altitude

Voir aussi : Lâcher d'un ballon-sonde - Les enveloppes de ballons-sondes - Idées pour une exposition : la chute et la résistance de l'air - Le ballon qui n'éclate pas -  Caractéristiques de l'atmosphère standard -  Calcul de la pression atmosphérique avec la loi de Laplace - Variations de la vitesse de montée d'un ballon-sonde -     

Un ballon dont l'enveloppe est élastique, en latex par exemple, se dilate au fur-et-à mesure que la pression extérieure diminue.

Expérience

Il existe deux façons de faire augmenter le diamètre d'un ballon à température constante : ajouter du gaz de façon à augmenter la pression du gaz qu'il contient ou diminuer la pression de l'air qui l'entoure. C'est cette façon de faire qui s'applique lorsque le ballon, gonflé avec un gaz plus léger que l'air, monte dans le ciel, là où l'air se raréfie et où la pression atmosphérique diminue.
On peut reproduire ce phénomène facilement, sans être obligé de prendre de l'altitude. Pour cela il suffit d'une cloche à vide et de la pompe qui va avec. Un baromètre numérique permet de mesurer la pression sous la cloche, à l'extérieur du ballon.
Un petit ballon de baudruche, à peine gonflé est placé sous une cloche en verre très épais. Le baromètre visible sur les photos indique la pression sous la cloche, en hectopascals (hPa).
Les tables de l'atmosphère standard permettent d'évaluer l'altitude correspondante. L'air dans la cloche est aspiré par une pompe raccordée au plateau de la cloche par un tuyau que l'on aperçoit sous le plateau.

809hPa = 1857m		521hPa = 5267m		340hPa = 8312m		244hPa = 10515m

140hPa = 13904m		108hPa = 15369m		77hPa = 17174m

En mesurant sur chaque photo le diamètre du ballon on peut suivre son évolution en fonction de la pression. Si on prend pour diamètre de référence celui du ballon à la pression de 840hPa on peut établir la relation entre le diamètre du ballon et l'altitude.

Remarque : nous avons simplifié la démonstration en considérant que la température était constante. La réalité est un petit peu plus complexe car la température varie avec l'altitude et pas toujours dans le même sens, l'air ambiant se refroidit et le gaz du ballon également mais avec un certain retard (voir Variations de la vitesse de montée d'un ballon-sonde )

Mesures et calculs

Le tableau ci-dessous regroupe les mesures effectuées sur les photos et le résultat des calculs :
- Pression en hectopascals indiquée par le baromètre
- Altitude correspondante à la pression dans l'atmosphère standard
- diamètre DB en pixels du ballon mesuré sur chaque photo originale (cette mesure est légèrement faussée par la réfraction due à l'épaisseur de la paroi de la cloche
- diamètre DC en pixels du plateau de la cloche relevé de la même façon que celui du ballon
- rapport DB/DC qui permet de retrouver les bonnes proportions du ballon car la distance entre le photographe et le ballon n'est pas constante, les photos n'ayant pas été prises dnas le but de mesure le diamètre du ballon...
- rapport DB/DC ramené au diamètre du ballon à 1860m
- rapport DB/DC ramené au diamètre du ballon au niveau de la mer

Pression	Altitude	diam. ballon DB	diam. cloche DC	DB/DC	k1	k1.1
(hPa)	(m)	(pixels)	(pixels)
809	1860	180	490	0.37	1.00	1.10
521	5270	216	510	0.42	1.15	1.27
340	8310	258	526	0.49	1.34	1.47
244	10510	296	528	0.56	1.53	1.68
140	13900	360	524	0.69	1.87	2.06
108	15370	396	526	0.75	2.05	2.25
77	17170	456	538	0.85	2.31	2.54

Courbe de dilatation du ballon sous la cloche

La figure ci-dessous montre les variations de la valeur k1.1 c'est à dire le diamètre du ballon sous la cloche en fonction de l'altitude.
On peut en déduire facilement le diamètre du petit ballon à n'importe quelle hauteur.
Exemples :
- Un ballon de baudruche de 20cm de diamètre au niveau de la mer aura un diamètre de 1,5 x 20 = 30cm à 8300m
- Si, en gonflant un ballon du même type, on mesure qu'il éclate à 35cm de diamètre, on peut calculer k = 35 / 20 = 1.75 et en déduire qu'il éclatera à une altitude de 11000m

Remarques
- Cet exemple particulier n'a pas d'autre intérêt que d'illustrer les principes. La mesure initiale de diamètre correspondait à un ballon à peine gonflé incapable de s'élever. Pour tirer des conclusions valables sur le raisonnement illustré ci-dessus il faudrait faire la mesure sous cloche avec un ballon prêt à être lâché dès le début de la mesure, à la pression atmosphérique du lieu de lâcher.
- Le comportement d'une enveloppe en latex varie énormément en fonction de nombreux facteurs : conditions de stockage, vieillissement... En outre la dispersion des caractéristiques à l'intérieur d'un lot de ballons neuf dépend beaucoup de la qualité de fabrication.
- Un même ballon ne réagira pas de la même façon s'il s'agit de son premier gonflage ou s'il a été djà utilisé plusieurs fois. Le latex a des propriétés élastiques qui ne sont pas parfaites.

Calcul du diamètre théorique d'un ballon montant à vitesse constante

La formule (1), utilisée dans la page Variations de la vitesse de montée d'un ballon-sonde permet de calculer la force R exercée par l'air sur la surface S d'un ballon qui se déplace à la vitesse v. On peut voir dans cette même page, que très peu de temps après le lâcher, la vitesse se stabilise car la résistance de l'air R équilibre exactement le poids P de l'ensemble de la chaîne de vol. On a alors P = R
De la formule (1), on peu déduire la formule (2) dans laquelle R a été remplacée par P.

Exemple
Soit un ballon dont la chaîne de vol a une masse de 500g (une DFM-06 et un petit ballon) donc un poids de 5 newtons, une vitesse de montée de 5m/s et dont le coefficient aérodynamique est de 1. En incorporant ces valeurs dans la formule (2) on obtient la formule (3) qui montre que la surface du ballon est inversement proportionnelle à la masse volumique de l'air rho.
De la surface S du maître-couple du ballon (surface de la sphère vue de dessous) on peut déduire le diamètre de l'enveloppe pour une valeur de rho.


Calcul du diamètre théorique en fonction de l'altitude

Grâce à la table de l'atmosphère standard et le site Desktop Aeronautics (voir page des liens) on peut connaître la masse volumique de l'air pour une altitude donnée. A l'aide de la formule (3) on peut donc calculer le diamètre du ballon de l'exemple précédent en fonction de l'altitude :

Altitude	rho	S	rayon	Diamètre	k1.1
(m)	(kg/m3)	(m²)	(m)	(m)
1860	1.02	0.38	0.35	0.70	1.10
5270	0.72	0.55	0.42	0.84	1.32
8310	0.51	0.77	0.50	0.99	1.56
10510	0.39	1.01	0.57	1.14	1.79
13900	0.23	1.7	0.74	1.47	2.32
15370	0.18	2.15	0.83	1.65	2.60
17170	0.14	2.85	0.95	1.91	3.00

Il ne s'agit là encore que d'un exemple bâti autour de valeurs de départ arbitraires (on a choisi une valeur de 1 pour le Cx du ballon pour faciliter les calculs alors que la valeur réelle est inférieure à 0,5 ...) mais les principes restent valables.
Le diamètre calculé a été normalisé pour une valeur de 1 au niveau de la mer afin de faciliter les comparaisons avec la courbe de dilatation du petit ballon dans la cloche à vide. Les deux courbes ont été superposées sur la figure ci-contre :
- En bleu, courbe de dilatation du petit ballon sous la cloche à vide
- En rouge, exemple d'un ballon entraînant une radiosonde
On voit que les deux courbes ont la même allure générale. La différence peut s'expliquer en partie à cause de l'élasticité de l'enveloppe différente entre un petit ballon et une enveloppe pour ballon-sonde.

Remarques
Plusieurs facteurs ont été négligés par mesure de simplification pour le calcul du diamètre du ballon en fonction de l'altitude :
- le coefficient aérodynamique du ballon a été considéré comme constant, ce qui n'est le cas, ne serait-ce que parce que le ballon sous-gonflé au départ a plutôt une forme de poire inversée et ressemble plus à une sphère lorsqu'il est dilaté
- le ballon a été assimilé à une sphère dont on calcule le diamètre alors qu'au départ son profil est plus aérodynamique.




Merci à :
- David et ses collègues du Pavillon des Sciences de Montbéliard (25)
- Pierre F8DLJ pour les photos