Et plus particulièrement : feuille de calculs de simulation - ouverture du parachute - calcul de la trajectoire de chute d'un ballon - Les balancements de la nacelle d'un ballon-sonde -
Les paramètres permettant de calculer la vitesse d'un objet soumis à la fois à son propre poids et à la résistance de l'air varient en permanence. Ainsi la vitesse dépend de la résistance de l'air qui elle-même dépend de la vitesse. Il n'est donc pas possible de définir une fonction, si compliquée qu'elle soit, sous la forme V = f(t). La solution passe par le calcul par itérations qui simplifie énormément le problème et permet de le comprendre aisément. On va l'appliquer ici pour le calcul du mouvement de la chaîne de vol entre le moment précis où le ballon éclate et celui où sa vitesse de chute se stabilise.
Principe
Imaginons la nacelle d'un ballon juste au moment de l'éclatement de son enveloppe. Elle se trouve à 30000m d'altitude et sa vitesse verticale est nulle. Si on calcule sa vitesse au bout de 10 secondes en partant du principe que la résistance de l'air est nulle (puisque la vitesse initiale est nulle) on obtiendra un résultat très erroné car déjà au bout d'une seconde on devine que la vitesse sera suffisante pour provoquer un freinage grâce au parachute.
Refaisons le calcul mais, au lieu d'attendre 10 secondes, prenons un intervalle d'une seconde en considérant toujours que la vitesse initiale est nulle mais en admettant que cette vitesse n'augmente pas pendant tout l'intervalle de temps. Le résistance de l'air est nulle, la nacelle est soumise seulement à l'accélération de la pesanteur. Au bout d'une seconde, sa vitesse V sera de l'ordre de 9,7m/s.
Nouveau calcul en partant des résultats du calcul précédent et toujours sur un intervalle de une seconde. Cette fois nous prenons comme vitesse initiale V=9,7m/s et nous pouvons calculer la résistance de l'air que nous considèrerons comme constante pendant tout l'intervalle de temps. Le freinage est pris en compte, la vitesse au bout de 2 secondes ne sera pas de 19,4 comme nous l'aurions calculée sans tenir compte de la résistance de l'air mais de 17,2 m/s (dans cet exemple). La suite des calculs s'effectue de la même manière, jusqu'à l'impact.
Pourtant on se doute que, pendant un intervalle d'une seconde, il se passe beaucoup de choses ; de t0 (instant de l'éclatement) à t0+1 (une seconde plus tard) la vitesse est passée de 0 à 9,7m/s. Cet accroissement est très grand. Si au lieu d'un intervalle de 1 seconde on prend un intervalle de 0,1 seconde en faisant dix calculs au lieu d'un le résultat sera plus proche de la réalité.
Refaisons le calcul en considérant que la vitesse est constante pendant un dixième de seconde. A t0+0.1 la vitesse est de 1,9 m/s et au bout de 10 calculs, donc d'une seconde, la vitesse est de 9,9 m/s (au lieu de 17,2 m/s). L'amélioration est considérable.
Et si on prenait un intervalle de 0,01s ? Le calcul nécessite 100 étapes (100 itérations) au lieu de 10 et le résultat est encore plus proche de la réalité : V=9,1 m/s
On voit que, plus court est l'intervalle durant lequel on considère que la vitesse est constante (plus fin est le pas de calcul), plus grande est la précision et plus grand est le temps de calcul. La recherche de la précision maximum se heurte aux limites des ressources de calcul nécessaire donc des capacités de l'ordinateur utilisé.
Application
A titre d'exemple voici la description du processus de calcul de la trajectoire d'une radiosonde retombant sous son parachute.
1) Caractéristiques :
masse du boîtier+parachute+ficelle+dérouleur+restes d'enveloppe : m = 0,6kg
surface du parachute : S = 0,8 m²
coefficient de traînée global Cx = 1,7
note : ce Cx a été déterminé à partir d'une trajectoire réelle. En fait il prend en compte la totalité des surfaces et Cx de la chaîne de vol. On aurait pu aussi bien majorer la surface S pour tenir compte du freinage dû au boîtier lui-même et celui assuré par l'ensemble des restes d'enveloppe sur son propre poids. La raison de ce choix est que la surface S du parachute est le seul élément mesurable.
2) Paramètres initiaux
altitude d'éclatement h0 = 30000m
vitesse de chute V0 = 0 m/s
accélération de la pesanteur g = 9,71 à 30000m (valeur que l'on pourrait considérer comme constante jusqu'au sol)
Masse volumique de l'air rho = 0,02 kg/m3 à 30000m (valeur qui varie énormément et qu'il est nécessaire de corriger tous les 1000m)
3) Les forces en présence et leur action sur le déplacement de la chaîne de vol
Comme tout objet, la nacelle du
ballon (ici une radiosonde), le parachute, la ficelle... sont
soumis à une force (leur poids total) due à l'attraction
terrestre dont l'intensité P en newtons est égale
au produit de g par la masse m qui, ici, représente
l'ensemble des masses de la chaîne de vol - formule (1).S'opposant au poids P dirigé vers le bas, la résistance de l'air R sur le parachute (mais aussi sur le boîtier, la ficelle, les accessoires, les restes de l'enveloppe...) dépend de la masse volumique de l'air à l'altitude considérée, du produit Cx.S qui est un paramètre que l'on considère par simplification comme constant de l'éclatement jusqu'à l'impact. C'est une hypothèse qui écarte le fait que l'enveloppe continue à se déchirer, que les suspentes du parachute peuvent se vriller et que parachute et restes de l'enveloppe peuvent s'emmêler intimement. Le produit CxS représente l'ensemble de la chaîne de vol et pas seulement le parachute - formule (2).
La force F résulte de l'antagonisme entre P et R. Elle est toujours dirigée vers le bas car R ne peut être supérieure à P. Elle a une intensité nulle lorsque la vitesse est stabilisée. Vitesse stabilisée ne veut pas dire vitesse constante car on sait que la masse volumique de l'air (rho) augmente lorsqu'on se rapproche du sol - formule (3).
L'accélération de la chaîne de vol (lettre grecque gamma) est égale au rapport de F divisée par la masse m. Elle est dirigée vers le bas, comme P . Cette accélération est égale à g au moment de l'éclatement puis tend vers 0 lorsque la vitesse se stabilise - formule (4).
La variation de vitesse (une augmentation dans le cas de la chute) est le produit de l'accélération par le temps. V0 étant la vitesse initiale. Le temps t est bien sûr l'intervalle de temps pendant lequel on considère que la vitesse est constante - formule (5).
La perte d'altitude pendant l'intervalle de temps t est le produit de la vitesse par t. L'altitude atteinte au bout de t est égale à l'altitude initiale diminuée de cette perte d'altitude - formule (6).
4) Exemple numérique
Nous partirons des caractéristiques et des paramètres initiaux cités plus haut.
Intervalle de temps : 0,1s
a) première itération
On applique directement les formules de la figure ci-dessus
(1) P = 0,6 x 9,715 = 5,83 N
(2) R = 0,5 x 0,02 x 1,7 x 0,8 x 0² = 0 N (vitesse initiale nulle)
(3) F = 5,83 - 0 = 5,83 N
(4) g = 5,83 / 0,6 = 9,71 m/s²
(5) V = 9,71 x 0,1 + 0 = 0,971 m/s
(6) h = 30000 - 0,971 x 0,1 = 29999,9 m
b) deuxième itération
Les valeurs initiales sont celles que nous avons calculées dans la précédente itération :
altitude d'éclatement h0 = 29999,9 m
vitesse de chute V0 = 0,971 m/s
(1) P = 0,6 x 9,715 = 5,83 N
(2) R = 0,5 x 0,02 x 1,7 x 0,8 x 0,971² = 0,014 N
(3) F = 5,83 - 0,014 = 5,815 N
(4) g = 5,815 / 0,6 = 9,692 m/s²
(5) V = 9,692 x 0,1 + 0,971 = 1,941 m/s
(6) h = 30000 - 1,941 x 0,1 = 29999,7 m
Remarque : lors du calcul, quand l'accélération est pratiquement nulle, une instabilité apparaît. Plus l'intervalle de temps est petit, plus tard elle apparaît dans la descente, la RS semble alors faire du yoyo. Une autre méthode devra être utilisée pour l'ensemble de la trajectoire (voir page : calcul de la trajectoire de chute d'un ballon )
Programme de calcul
Le développement d'un petit
programme de simulation est à la portée d'un programmeur
un peu expérimenté. Etant donné la multitude
de langages on ne donnera pas ici un programme tout fait. Par contre la simulation à l'aide d'un tableur comme Open Office ou Excel est très facile à écrire. La feuille Excel représentée sur la copie d'écran ci-contre peut-être téléchargée et modifiée facilement : Parachutes.xls
A chaque ligne correspond une itération. Les valeurs de g et de rho ne sont pas extraites dans une table mais calculées à l'aide de formules.
Les caractéristiques et les paramètres initiaux sont à saisir dans les cellules au dessus du tableau (libellés en rouge).
Pour des raisons de taille de fichier, le tableau a été limité à quelques lignes. Il suffit de recopier la dernière ligne quelques centaines ou quelques milliers de fois pour faire atteindre la stabilisation de la vitesse (feuille 1) ou dérouler la trajectoire jusqu'au sol (feuille 2).
Pour avoir une courbe couvrant la totalité de la trajectoire et rien de plus, il est nécessaire d'ajuster la taille du groupe de cellule couvert par les séries de points.
