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Les parachutes : calcul de la trajectoire de chute d'un ballon

Voir aussi : Lâcher d'un ballon-sonde - Les dérouleurs de ficelle - Les enveloppes de ballons-sondes - Le ballon-parachute -
Et plus particulièrement :  principe de calcul de la trajectoire de chute par itérations - l'ouverture du parachute - Les balancements de la nacelle d'un ballon-sonde -   

La distance parcourue par une nacelle retombant sous parachute, le temps de chute, la vitesse à l'impact dépendent étroitement du fonctionnement du parachute et du poids de la chaîne de vol (nacelle, ficelle, parachute, restes de l'enveloppe du ballon). Connaître les principes qui régissent la trajectoire de chute d'un ballon ou d'une radiosonde peut aider à corriger le calcul prévisionnel de point de chute et à estimer le temps que la nacelle mettra à atteindre le sol.

Principe

Dès l'ouverture du parachute, la vitesse de descente se stabilise très vite (voir page : principe de calcul de la trajectoire de chute par itérations), elle ne varie en fait qu'à cause de la masse volumique de l'air qui décroit de façon très importante quand l'altitude augmente et aussi, dans une moindre mesure, à cause de la diminution de la pesanteur à mesure que l'on s'éloigne de la Terre.
Cela signifie que, pour un parachute donné et une masse totale donnée, la vitesse de chute sera directement dépendante de l'altitude et pourra être calculée à l'aide d'une formule d'utilisation simple ou déterminée sommairement à partir d'un abaque.

Démonstration

Un objet qui tombe dans l'air, par exemple une radiosonde qui descend sous parachute, est soumis a deux forces de sens opposés : son poids et la résistance que l'air exerce sur lui. Même si le parachute est absent ou en torche, l'objet présente une surface S plus ou moins grande qui, associée au coefficient de traînée Cx (dépendant de la forme de l'objet), puis multipliée par la masse volumique de l'air (rho) et par le carré de la vitesse de déplacement V va permettre de calculer R, la force de résistance de l'air dirigée vers le haut - formule (1)
La vitesse V et la masse volumique de l'air sont des variables. Par contre Cx et S sont des paramètres qui caractérisent l'objet et ne sont pas censés varier sauf si l'objet change de dimensions ou de forme, comme par exemple un parachute d'abord bien déployé qui se met par la suite en torche à cause des débris d'enveloppe. On peut donc représenter Cx et S (ainsi que le nombre 1/2) par le coefficient k - formule (2) et (3)
Le poids P de la chaîne de vol (pas seulement du boîtier de la RS) est égal au produit de sa masse par l'accélération de la pesanteur g, qui varie de 9,8 au niveau de la mer à 9,7 à 35000m - formule (4)
Lorsque la vitesse de chute est stabilisée, les forces P et R s'annulent, leurs intensités respectives sont égales - formule (5) et (6)
De l'équation (6) on peut passer à (7) et à (8) où le rapport k/m, que l'on appellera kRm dans la formule (9) caractérise la chaîne de vol dans sa capacité à chuter vite (coefficient kRm faible) ou lentement (coefficient kRm élevé).

Le coefficient kRm peut être calculé facilement lorsqu'on connait à la fois la vitesse de chute pour une altitude donnée (à laquelle on connaît rho et g). Ce coefficient est constant pendant toute la descente, à condition que les débris d'enveloppe ne viennent pas gêner le fonctionnement du parachute.
Connaissant kRm, on peut calculer la vitesse de chute pour n'importe quelle altitude. Sur l'abaque ci-dessous, une courbe est le lieu de tous les points correspondant au même coefficient kRm.



Calcul de la trajectoire

De la formule (9) issue de la démonstration précédente on peut déduire la formule (10) ci-dessous permettant de calculer la vitesse de chute stabilisée pour n'importe quelle valeur de rho donc n'importe quelle altitude.

Par exemple si à 991m d'altitude la vitesse de chute d'une radiosonde est de 330m/min (-5,5m/s) on peut calculer que kRm=0,29 à l'aide de la formule (9) et on peut calculer avec la formule (10) ci-dessus que la vitesse d'impact au niveau de la mer sera de 315m/min (5,3m/s).
Connaissant la vitesse pour chaque tranche d'altitude, il est facile de calculer la trajectoire de chute de la radiosonde, c'est à dire l'évolution de son altitude en fonction du temps.
La feuille de calcul parachutes.xls permet des simulations rapides en précisant simplement :
- altitude d'éclatement
- vitesse et altitude en fin de chute.
A défaut de la fin de chute on se contentera des informations disponibles. Si la seule vitesse connue a été décodée à 5000m, les résultats ne seront peut-être pas moins bons.
On peut changer le pas de calcul pour une meilleure précision, sachant qu'il faudra ajuster le nombre de lignes et retoucher la longueur de chaque série de données.
Exemple d'utilisation
On a décodé avec SondeMonitor la position, l'altitude et la vitesse de chute d'une RS92SGP jusqu'à 7204m d'altitude. Dans le fichier groundtrack on peut lire
11:51:47   7440m
11:52:47   7204m
En une minute, la RS a chuté de 236m.
En entrant ces données dans les cellules F2 et F3 de la feuille de calcul on peut connaître la vitesse à l'impact : 162m/min
A l'aide de Balloon-Track paramétré avec :
- vitesse de montée très grande : 10000m/mn
- altitude d'éclatement : 7204m
- vitesse de chute : 162m/min
- position du site de lâcher égal à la position correspondant à 7204m
On peut obtenir une prévision de point de chute assez précise permettant de retrouver le signal si on a un peu de chance.

Deux exemples

Les deux RS92SGP d'Idar-Oberstein (DL) suivantes ont volé début mars 2011. L'une est retombée à Wincheringen en Allemagne et l'autre à Herborn (Luxembourg)
Dans le premier cas les restes d'enveloppe flottaient à l'écart du parachute sans gêner ce dernier. Dans le cas de la RS92SGP retrouvée dans un champ à Herborn, les restes d'enveloppe on formé un paquet compact incluant le dérouleur et la ficelle. Le parachute forme une sorte de cornet inefficace qui le fait ressembler à un volant de badminton. Malgré la vitesse élevée, le paquet parachute+enveloppe est retombé plus lentement que le boîtier, bien plus compact et aérodynamique.

Wincheringen  vitesse de chute : -189m/min (-3,1m/s)  masse totale : 600g dont 266g d'enveloppe  kRm : 0,846 Le mètre déroulé représente 100cm.		Herborn  vitesse de chute : -550m/min (-9,1m/s)  masse totale : 614g dont 280g d'enveloppe  kRm : 0,1

Abaque                  

Pour déterminer approximativement la vitesse d'impact, celle utilisée par le logiciel Balloon-Track pour calculer une trajectoire prévisionnelle, on peut se servir de l'abaque ci-dessous. Il suffit de connaître la vitesse de chute à une altitude donnée.
Exemple :
Si à 26000m d'altitude (26km), la vitesse verticale décodée par SondeMonitor est de -27m/s (axe des ordonnées), en suivant la courbe vers le bas et la gauche on pourra déterminer que la vitesse de chute sera de 10m/s à 12000m et 5m/s (300m/min) en arrivant au sol.
Pour les valeurs qui ne tombent pas juste sur une courbe, il faudra interpoler. Par exemple, si à 25km d'altitude la vitesse verticale est de 45m/s il faudra rester entre les deux courbes qui aboutissent à 8,2m/s et 10m/s respectivement. La vitesse à l'impact sera alors de 8,6m/s (540m/min environ).
Les valeurs de la vitesse de chute se situent pratiquement toujours à l'intérieur du faisceau de courbe, ce qui correspond à des vitesses d'atterrissage comprises entre 2 et 12m/s (120 et 720m/min).